bloque I
teoría de conjuntos
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia los conceptos de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.C que está formado por los elementos de A, de B o de
ambos.
A ∪ B = { x / x , A, x , B o x , a ambos }
Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es
el conjunto C que está formado por los elementos que
pertenecen a ambos conjuntos simultanéamente.
A ∩ B = { x / x , A y x , B }
Complementos. El complemento de un conjunto A que
se denota por Ac
es el evento que consta de todos los
resultados en el espacio muestral que no están
contenidos en A.
Ac
= { x ∈ S x ∉ A }
Ac
+ A = S
Si dos conjuntos A y B no tienen elementos en común,
Su intersección será nula o vacía. En este caso A y B se
dicen eventos mutuamente excluyentes.
A ∩ B = { Φ }
DIAGRAMAS DE VENN
Los diagramas de Venn son ilustraciones utilizadas en la teoría de conjuntos, para mostrar gráficamente la agrupación de elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo.
El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.
El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.
problemas aplicando la teoría de conjuntos
Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primerpremio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y
posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras
distintas de repartir los tres premios.
n
10 x 9 x 8 = 720
Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto
1.- sean Hallar A∪ B, A∪ C, A∪ D.
A∪ B= {{1,2,3}, 1,2,3}
A∪ C= {{1,2,3}, 1,2,3,4}
A∪ D= {{1,2,3}, 1{,2,3},5}
Hallar A∪ B, A∪ C, A∪ D.
A∪ B= {{1,2,3}, 1,2,3}
A∪ C= {{1,2,3}, 1,2,3,4}
A∪ D= {{1,2,3}, 1{,2,3},5}
2. Se hizo una encuesta a personas sobre preferencias respecto a dos revistas A y B. se observa que los que leen las dos revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que leen sólo B y el cuádruplo de los que no leen ninguna de las dos revistas. ¿cuántas personas leen A?
U= 50
6x + 12x + 4x + 3x= 50 x=2
n(A)= 18(2)
n(A)= 36
3. A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casaca, 17 varones con corbata no tenían casaca, 9 señoritas portaban casaca, pero no tenían cartera. ¿Cuántos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no llevaron casaca?
H= U= M=
40= 11 + 9 + 12 + x
x=8
4. Dado los conjuntos A; B; C, contenidos en el universo de 98 elementos, tal que:
n(A - B)= 21
n(B - C)= 25
n(C - A)= 32
3n(A∩B∩C)= n(A∪B∪C)'
Hallar: (A∩B∩C)´
98= 4x + 21 + 25 + 3220= 4x
x=5
Piden: (A∩B∩C)´
[U-(A∩B∩C) ]= 98-5=93
Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto
principio fundamental de conteo
PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.
N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formasEjemplo:
Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12
PRINCIPIO ADITIVO.
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,
M + N + .........+ W maneras o formas
Ejemplos:1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 manerasN = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora
PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCIÓN
Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:
m+n maneras.
Ejemplo:
Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo económico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?
PRESA PLAYAS
Económico Residencial
Condominio Californiano
Provenzal
m=2 n=3
2+3= 5 maneras
Premutación y combienación
Un representante de compras hace sus pedidos por teléfono, fax, correo o mensajería. Solicita que se confirmen sus pedidos sea por teléfono o por fax. ¿De cuántas maneras distintas se puede hacer y confirmar uno de sus pedidos?
Hay cinco rutas entre la casa de una ejecutiva y su sitio de trabajo.
A) ¿De cuantas maneras distintas puede ir al trabajo y regresar?
B) ¿De cuantas maneras distintas puede ir al trabajo y regresar si no quiere tomar la misma ruta de ida y vuelta?
C) Si una de sus cinco rutas corre sobre una calle de un solo sentido, entonces ¿de cuantas maneras distintas puede ir al trabajo y regresar (suponiendo que quiera tomar la misma ruta de ida y vuelta)?
Echo por: Itzel Karen Zaragoza Emeterio del COBAO plantel 04 el Tule; grupo 634
principio fundamental de conteo
PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.
N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formasEjemplo:
Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12
PRINCIPIO ADITIVO.
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,
M + N + .........+ W maneras o formas
Ejemplos:1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 manerasN = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora
PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCIÓN
Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:
m+n maneras.
Ejemplo:
Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo económico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?
PRESA PLAYAS
Económico Residencial
Condominio Californiano
Provenzal
m=2 n=3
2+3= 5 maneras
Premutación y combienación
Permutación:
Un arreglo se llama una permutación.
Se trata de la reorganización de los objetos o símbolos en secuencias
diferenciables. Cuando nos pusimos las cosas en orden, podemos decir que hemos
hecho un acuerdo. Cuando cambiamos el orden, decimos que hemos cambiado la
disposición. Así que cada uno de los arreglos que se pueden hacer mediante la
adopción de algunas o todas de una serie de cosas que se conoce como
permutación.
Combinación:
Una combinación es una selección de
algunas o todas de una serie de objetos diferentes. Es una colección sin orden
de una permutación única sizes.In el orden de aparición de los objetos o la
disposición es importante, pero en combinación el orden de aparición de los
objetos no es importante.
Formula:
Permutación = nPr = n! / (n-r)!
Combinación= nCr = nPr / r!
donde,
n, r no son números enteros
negativos yr<=n.
r es el tamaño de cada
permutación.
n es el tamaño
del conjunto de elementos que se permutan.
! es el
operador factorial.
problemas sobre premutaciones
Una cadena de tiendas de muebles tiene tres almacenes y veinte sucursales de venta al menudeo. ¿De cuantas maneras diferentes pueden embarcar un artículo de uno de los almacenes a una de las sucursales de minoreo?
N=20 r=3
20P3 =(20)(19)(18)=6840
Un representante de compras hace sus pedidos por teléfono, fax, correo o mensajería. Solicita que se confirmen sus pedidos sea por teléfono o por fax. ¿De cuántas maneras distintas se puede hacer y confirmar uno de sus pedidos?
N=4 r=2
4P2 =(4)(2)=8
A) ¿De cuantas maneras distintas puede ir al trabajo y regresar?
B) ¿De cuantas maneras distintas puede ir al trabajo y regresar si no quiere tomar la misma ruta de ida y vuelta?
C) Si una de sus cinco rutas corre sobre una calle de un solo sentido, entonces ¿de cuantas maneras distintas puede ir al trabajo y regresar (suponiendo que quiera tomar la misma ruta de ida y vuelta)?
a) N=5 r=5 5P5 =5!=120
b) N=5 r=2 5P2 =(5)(4)=20
c) N=5 r=4 5P4 =5!/(5-4)!=120
problemas sobre combinaciones
La tienda de regalos de un centro turístico tiene quince postales distintas ¿De cuantas maneras puede seleccionar una persona cuatro de estas postales como recuerdo?
Una pizzería ofrece diez ingredientes adicionales para su pizza ¿De cuántas maneras un cliente puede seleccionar tres ingredientes adicionales para su pizza?
Una librería tiene una venta en que un cliente obtiene precio especial si compra cuatro de los diez best-sellers actuales ¿De cuántas maneras un cliente puede hacer tal selección?
N=15 r=4
15C4 = 15!/ 4! (15-4)! = 1365
N= 10 r= 3
10C3 =10!/ 4! (10-4)!=120
N= 10 r= 4
10C 4=10!/ 4! (10-4)!=210
